مفهوم دالة - مجموعة تعريف الدالة

 مفهوم دالة - مجموعة تعريف الدالة

1- مفهوم دالة - مجموعة تعريف الدالة - حساب الصور بدالة :

تعريف :

تعريف :

•  D مجال أو إتحاد مجالات من مجموعة الأعداد الحقيقية IR.
•  نعرف دالة على مجال D من مجموعة الأعداد الحقيقية IR، يعني أننا نقرن كل عدد حقيقي x من D بعنصر وحيد نرمز له ب (f(x.
•  نسمي D مجموعة تعريف الدالة أو نقول أننا عرفنا الدالة f على المجال D.
•  العدد الحقيقي (f(x يسمى صورة العدد x بالدالة f.

أمثلة :
عندما نقرن مثلا كل عدد حقيقي x بالعدد x² + 3 نقول أننا عرفنا دالة  f على مجموعة الأعداد الحقيقية IR حيث :

 f(x) = x² + 3، و نكتب : Df = IR. ولدينا :

f(0) = 0² + 3 = 3

f(2) = 2² + 3 = 4 + 3 = 7

f(-4) = (-4)² + 3 = 16 + 3 = 19

f(?2) = (?2)² + 3 = 2 + 3 = 5

عندما نقرن مثلا كل عدد حقيقي موجب x بالعدد x? نقول أننا عرفنا دالة g على مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة +IR حيث:

 g(x) = ?x و نكتب : +Dg = IR. و لدينا :

g(0) = ?0 = 0

g(1) = ?1 = 1

g(5) = ?5

g(9) = ?9 = 3

لاحظوا اننا لن نتكمن من حساب صور الأعداد الحقيقية السالبة لأن الدالة g هي معرفة فقط على الأعداد الحقيقية الموجبة +IR.
خلاصة:

خلاصة :

 تحديد مجموعة تعريف دالة عددية يعني إيجاد مجموعة الأعداد التي يمكن أن نحسب صورها بهذه الدالة.

2- متى و كيف نحدد مجموعة تعريف دالة :

أحيانا لن نكون مطالبين بتحديد مجموعة تعريف دالة : مثلا إذا قيل لك أن دالة h معرفة على المجال [5 ; 4-] حيث:
 h(x) = x + 3 فأنت لاتحتاج تحديد مجموعة تعريف هذه الدالة و بالتالي تكون مجموعة تعريف الدالة h هي :[Dh = [-4 ; 5.

عندما تكون مجموعة تعريف دالة  f غير معطاة فهذا يعني أن مجموعة تعريف هذه الدالة هي  مجموعة الأعداد الحقيقية IR إلا إذا إعترضنا عائق ما و يمكن أن نذكر بأهم العوائق التي قد تصادفها لتحديد مجموعة التعريف : 

1- المتغير x يوجد بالمقام :

نأخد كمثال الدالة 

المتغير x يوجد بمقام الدالة . ونعلم أن مقام عدد حقيقي لا يمكن أن يساوي 0.

إذن هنا لا يمكننا  أن نحسب صورة العدد 1 بالدالة  f  لأن 0 = 1 - 1 . و بالتالي  f معرفة على جميع الأعداد الحقيقية بإستثناء 1 و نكتب : 

على المستقيم العددي :

وهذا تمثيلها المبياني :

2- المتغير x  بداخل الجدر :

نأخد كمثال الدالة

المتغير x يوجد بداخل الجدر : ونعلم أن مابداخل الجدر يجب ان يكون أكبر من أو يساوي 0.

إذن هنا لا يمكننا  أن نحسب صور الأعداد الأصغر من او تساوي 3 بالدالة g لأنه مثلا إذا أردنا أن نحسب صورة 1 بالدالة g سنحصل على 2- = 3 - 1 وهو عدد سالب . و بالتالي g معرفة على جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي 3 و نكتب :

على المستقيم العددي :

وهذا تمثيلها المبياني :

ملاحظة :

 بهذه الدالة يمكن أن نحسب صورة العدد 3 و لدينا g(3) = ?3-3 = 0. لهذا أغلقنا المجال على يسار 3 ووضعنا دائرة مملوءة دلالة على أن 3 ينتمي إلى مجموعة تعريف الدالة g.

المتغير x بداخل الجدر و بالمقام :

نأخد كمثال الدالة

المتغير x بالجدر و بالمقام. ونعلم أن مقام عدد حقيقي لا يمكن أن يساوي 0 و مابداخل يجب ان يكون أكبر من أو يساوي 0.
إذن هنا لا يمكننا  أن نحسب صور الأعداد الأصغر قطعا من 3 بالدالة h. و لدينا :

على المستقيم العددي :

ملاحظة :

 بهذه الدالة لايمكن أن نحسب صورة العدد 3 لأننا سنحصل على 0 في المقام . لهذا فتحنا المجال على يسار 3 ووضعنا دائرة فارغة دلالة على أن 3 لا ينتمي إلى مجموعة تعريف الدالة h.