المعادلات المثلثية : المعادلة من نوع cos x = a

المعادلات المثلثية : المعادلة من نوع cos x = a

1- المعادلة  cos x = a

في البرمجية التالية يمكنك أن تغير القيم العددية للبارامتر الحقيقي a من خلال القائمة الأفقية بلون أخضر ( أو إضغط زر التشغيل في الأسفل).

إذا قمت مثلا بتبيث a على 0,5 ستلاحظ ان المستقيم ذو المعادلة x = 0,5 يقطع الدائرة المثلثية في نقطتين M و M'  ذات الأفصولين المنحيين على التوالي ?/3 و 5?/3.
العددان ?/3 و 5?/3 هما حلي المعادلة cos x = 0,5 في المجال[  [ 2? ة ; 0 ] .

و نكتب : { S = { ?/3 ; 5?/3 

بصفة عامة :

لتكن المعادلة cos x = a حيث a عدد حقيقي و لتكن S مجموعة حلولها في IR.

• إذا كان a > 1  أو a < -1  فان : S تكون فارغة.
• إذا كانa = 1  فان : {S = {2k? /k?? 
• إذا كانa = -1 فان : {S = {? + 2k? /k?? 
• إذا كان a محصور قطعا بين 1- و 1 فإنه يوجد عدد حقيقي ?  بحيث  cos ? = a و لدينا :

 { S={ ? +k2? /k?? }?{ ? ? +k2? /k?? 

2- أمثلة على حل المعادلة  cos x = a

تمرين تطبيقي :
حل في المجال [ ? ; ?- ] المعادلات :

1. cos x - 2 = 0
2. 6cosx + 2 = 5
3. 2cos x +1 = 0

الحل :
1 - المعادلة cos x - 2 = 0  تكافئ cos x =  2
هذه المعادلة مجموعة حلولها فارغة لأن 2 اكبر قطعا من 1. تذكر أن :  (c ( -1 ? cos x ? 1

2 - المعادلة 6cosx + 2 = 5 يجب كتابتها على شكل cos x = a :

6cosx + 2 = 5   تكافئ  2 - 6cosx = 5  تكافئ 6cosx = 3 تكافئ cos?x = 1/2

cos?x = 1/2 تكافئ cos?x =cos? ?/3 تكافئ (x= ?/3 + 2k? ) أو (x = ? ?/3 + 2k? ) مع k?? .

لنبحث عن قيم  k حيث :   ? ? ?/3 + 2k? ? ?-    و   ? ? -?/3 + 2k? ? ?-
لدينا   :  ? ? ?/3 + 2k? ? ?-    ;;    ? ? -?/3 + 2k? ? ?-
=>: ?   -1 ? 1/3 + 2k ? 1    ;;  ? -1 ? -1/3 + 2k ? 1
=>: ?   -4/3 ?  2k ? 2/3   ;;      ?-2/3 ?  2k ? 4/3
=>: ?   -2/3 ?  k ? 1/3    ;;   ?-1/3 ? k ? 2/3
=>  :  0 = k   أي x= ?/3 أو x= -?/3

 { S[ ? ; ?- ] ={ ?/3 ;? ?/3  

وهذا تمثيل الحلول على الدائرة المثلثية :

 تمثيل الحلول على الدائرة المثلثية

و تكون مجموعة حلول المعادلة 6cosx + 2 = 5 في IR على شكل :

                     { SIR ={ ?/3 +k( 2? )/k?? }?{ ? ?/3 +k( 2? )/k??

3-  المعادلة 2cos x +1 = 0  تكافئ cos x = -1/2

cos ?x = -1/2 تكافئ cos?x =cos? 2?/3 تكافئ (x= 2?/3 + 2k? ) أو (x = ? 2?/3 + 2k? ) مع k?? .
لنبحث عن قيم  k حيث    ? ? -2?/3 + 2k? ? ?    ;;   -? ? 2?/3 + 2k? ? ?-
لدينا :   ? ? -2?/3 + 2k? ? ?    ;;   -? ? 2?/3 + 2k? ? ?-
=>: ?   -1 ? 2/3 + 2k ? 1    ;;   ? -1 ? 2/3 + 2k ? 1
=>: ?   -5/3 ?  2k ? 5/3    ;;   ?-5/3 ?  2k ? 1/3
=>: ?   -5/6 ?  k ? 5/6    ;;   ?-5/6 ? k ? 1/6
=>:  0 = k   أي x= 2?/3 أو x= -2?/3

 { S[- ? ; ? ] ={ 2?/3 ;? 2?/3  

وهذا تمثيل الحلول على الدائرة المثلثية :

تمثيل الحلول على الدائرة المثلثية